Question

14．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），在以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，且與直角坐標系有相同的長度單位的極坐標系中，直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
（3）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數方程消去參數，能求出曲線C的普通方程；線l的方程的極坐標方程轉化為$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，由此能求出直線l的直角坐標方程．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得直線l與曲線C的交點坐標為（2，2），（4，0），由此利用兩點間距離公式能求出直線l被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x-2=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線C的普通方程為（x-2）²+y²=4，
∵直線l的方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
即$ρsinθcos\frac{π}{4}+ρcosθsin\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$，
∴直線l的直角坐標方程為x+y-4=0．
（2）聯立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴直線l與曲線C的交點坐標為（2，2），（4，0），
∴直線l被曲線C截得的弦長為：
$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線的普通方程、直線的直角坐標方程的求法，考查直線被曲線截得的弦長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．