Question

15．已知f（x）=alnx+bx²在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y-2=0
（1）求a，b的值；
（2）當x∈[1，+∞）時，$f（x）≥\frac{k^2}{x}$恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率，由切線方程可得a，b的方程，解方程可得所求值；
（2）由題意可得k²≤x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值，求出y=x（lnx+x²）的導數，判斷單調性，即可得到所求最小值，解不等式即可得到所求k的范圍．

解答 解：（1）f（x）=alnx+bx²的導數為f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx，
可得切線的斜率為a+2b，且f（1）=b，
由切線方程為3x-y-2=0，可得a+2b=3，b=1，
解得a=1，b=1；
（2）當x∈[1，+∞）時，$f（x）≥\frac{k^2}{x}$恒成立，
即為k²≤x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值，
由y=x（lnx+x²）的導數為y′=1+lnx+3x²，
由x≥1可得1+lnx+3x²≥4，
即有函數y在x∈[1，+∞）遞增，
即有x（lnx+x²）在[1，+∞）的最小值為1．
則k²≤1，解得-1≤k≤1．
即有實數k的取值范圍為[-1，1]．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性，考查方程思想和轉化思想，以及參數分離，考查運算能力，屬于中檔題．