Question

13．如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F分別為弦AB與弦AC上的點，且BC•AE=DC•AF，B，E，F，C四點共圓．證明：CA是△ABC外接圓的直徑．

Answer 1

分析 B，E，F，C四點共圓，可得∠DBC=∠EAF．根據CD為△ABC外接圓的切線，可得∠BCD=∠FAE．由已知可證明：△BCD∽△FAE，可得∠DBC=∠EFA．可得∠CBA=90°．即可證明CA是△ABC外接圓的直徑．

解答 證明：∵B，E，F，C四點共圓，∴∠DBC=∠EAF．
∵CD為△ABC外接圓的切線，∴∠BCD=∠FAE．
在△BCD與△FAE中，
∵BC•AE=DC•AF，即$\frac{BC}{FA}$=$\frac{DC}{EA}$，又∠BCD=∠FAE．
∴△BCD∽△FAE，
∴∠DBC=∠EFA．
∴∠DBC=∠CBA，
又∠DBC+∠CBA=180°，
∴∠CBA=90°．
∴CA是△ABC外接圓的直徑．

點評 本題考查了四點共圓的性質、相似三角形的判定與性質定理、弦切角定理、圓的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．