Question

5．函數f（x）=a^x-xlna（a＞0且a≠1）的最小值為1．

Answer 1

分析 求出函數f（x）的導數的解析式，對實數a分類討論后，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調區間，從而求出函數的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=a^x-xlna，
∴f′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
當a＞1時，lna＞0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
當0＜a＜1時，lna＜0，
令f′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令f′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；
∴f（x）的最小值是f（0）=1，
故答案為：1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．