Question

已知圓O的方程為x²+y²=25，設點P（x₁，y₁），直線m：x₁x+y₁y=25．
（1）若點P在圓O內，試判斷直線m與圓O的位置關系；
（2）若點P在圓O上，且x₁=3，y₁＞0，過點P作直線PA，PB分別交圓O于兩點A，B，且直線PA，PB的斜率互為相反數．
①若直線PA過點O，求tan∠APB的值；
②試問：不論直線PA的斜率怎樣變化，直線AB的斜率是否總為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,直線的斜率

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由點P在圓O內，求得圓心到直線的距離d大于半徑，可得直線和圓相離．
（2）①由條件求得點P（3，4），若直線PA過點O，求得PA的斜率，可得PB的斜率，再利用兩條直線的夾角公式求得tan∠APB的值；
②求出A，B的坐標，利用斜率公式，即可得出結論．

解答： 解：（1）∵點P在圓O內，∴圓心到直線l的距離d=

25

x12+y12

＞5，
∴直線l與圓O相離；                         
（2）①點P在圓O上，且x₁=3，y₁＞0，得y₁=5，即P（3，4）．
由題意，AP是圓的直徑，所以點P的坐標為（-3，-4），且k_AP=

4

3

．
又直線PA，PB的斜率互為相反數，所以k_PB=-

4

3

∴tan∠APB=-

24

7

；
②記直線PA的斜率為k，則直線PA的方程為：y=kx+4-3k．
將y=kx+4-3k代入圓O的方程得：x²+（kx+4-3k）²=25，
化簡得：（k²+1）x²+2k（4-3k）x+（4-3k）²-25=0，
∵3是方程的一個根，∴3x_A=

(4-3k)2-25

k2+1

，∴x_A=

3k2-8k-3

k2+1

由題意知：k_PB=-k，同理可得，x_B=

3k2+8k-3

1-k2

∴k_AB=k•

xA+xB-6

xA-xB

=

3

4

即kAB=

3

4

．

點評：本題主要考查點和圓的位置關系，直線和圓的位置關系，直線的傾斜角和斜率，兩條直線的夾角公式的應用，屬于中檔題．