Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0），直線l過點A（a，0）和B（0，b），若原點O到直線l的距離為

3 c

4

（c為雙曲線的半焦距），則雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  2 3

  3

  或2
• B、

  2

• C、

  2 3

  3

• D、2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出直線的方程，運用點到直線的距離公式，得到方程，結合a，b，c的關系和離心率公式，化簡整理即可得到3e⁴-16e²+16=0，解方程即可得到離心率，注意條件0＜a＜b，則有e²＞2，注意取舍．

解答： 解：直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，即為bx+ay-ab=0，
c²=a²+b²，
原點O到直線l的距離d=

|0+0-ab|

a2+b2

=

3

4

c，
即有4ab=

3

c²，
即16a²b²=3c⁴，即16a²（c²-a²）=3c⁴，
16a²c²-16a⁴-3c⁴=0，
由于e=

c

a

，則3e⁴-16e²+16=0，
解得，e=2或

2 3

3

．
由于0＜a＜b，即a²＜b²，即有c²＞2a²，即有e²＞2，
則e=2．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的性質：離心率的求法，同時考查直線的方程和點到直線的距離公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．