Question

3．已知數列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，求a₁₁的值；
（Ⅱ）若數列{$\frac{1}{1+{a}_{n}}$}是等差數列，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據等差數列的通項公式求得公差d，然后代入通項公式求得a₁₁的值；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，則數列{b_n}是等差數列，根據等差數列的定義求得b_n=$\frac{13-3n}{20}$，易得數列{a_n}的通項公式．

解答 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差d，則a_n=a₁+（n-1）d，
由題設，2d=4-1=3，
所以d=$\frac{3}{2}$．
所以a_n=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3n}{2}$，
所以a₁₁=16；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{1+{a}_{n}}$，則數列{b_n}是等差數列，
b₁=$\frac{1}{2}$，b₃=$\frac{1}{5}$，b_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{20}$（n-1）=$\frac{13-3n}{20}$，
即$\frac{1}{1+{a}_{n}}$=$\frac{13-3n}{20}$，
所以a_n=$\frac{7+3n}{13-3n}$．

點評 本題考查等差數列的性質，考查等差數列的通項公式，考查運算與推理的能力，屬于中檔題．