Question

11．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中側棱垂直于底面，AC⊥BC，點D是AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出CC₁⊥AC，AC⊥BC，從而AC⊥平面BCC₁B₁，由此能證明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）設BC₁與B₁C的交點為E，連結DE，則DE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁CD．

解答 證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．…..…（5分）
（Ⅱ）設BC₁與B₁C的交點為E，連結DE，
BCC₁B₁為平行四邊形，∴E為B₁C的中點，
又D是AB的中點，∴DE是△ABC₁的中位線，∴DE∥AC₁，
又∵AC₁?平面B₁CD，DE?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．…（12分）

點評 本題考查線線垂直、線面平行的證明，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．