Question

19．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為（　　）

• A． 24+8$\sqrt{2}$+8$\sqrt{5}$
• B． 20+8$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$
• C． 20+8$\sqrt{5}$+4$\sqrt{2}$
• D． 20+4$\sqrt{2}$+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，原幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，側面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的正方形，側面PAB是等腰三角形，底邊AB上的高為2，側面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角邊AD=4，AP=$2\sqrt{2}$，側面PCD是等腰三角形，底邊CD=4，腰PD=PC=2$\sqrt{6}$．然后由三角形面積求解．

解答 解：由三視圖可得原幾何體如圖：

該幾何體是一個以正視圖為底面的四棱錐，
側面PAB與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為4的正方形；
側面PAB是等腰三角形，底邊AB上的高為2，側面PAD、PBC是全等的直角三角形，直角邊AD=4，AP=$2\sqrt{2}$；
側面PCD是等腰三角形，底邊CD=4，腰PD=PC=2$\sqrt{6}$．
∴幾何體的表面積為：$4×4+\frac{1}{2}×4×2+2×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×4+$$\frac{1}{2}×4×\sqrt{（2\sqrt{6}）^{2}-{2}^{2}}$
=20+$8\sqrt{2}$+$4\sqrt{5}$．
故選：B．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．