Question

11．設函數$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$在（t，10-t²）上有最大值，則實數t的取值范圍為（　　）

• A． $（-3，-\sqrt{6}）$
• B． $（-2，-\sqrt{3}）$
• C． [-2，1）
• D． （-2，1）

Answer 1

分析 由給出的是開區間，且給的函數只有一個極大值點，可得最大值一定是在該極大值點處取得，因此對原函數求導、求極大值點，然后讓極大值點落在區間（t，10-t²）內，由此構造不等式組求解．

解答 解：由$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$，得f′（x）=-x²+1，
由f′（x）=0，得x=±1．
當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）的減區間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0，
∴f（x）的增區間為（-1，1）．
∴x=1時，f（x）取得極大值，
要使函數f（x）=$-\frac{1}{3}{x}^{3}+x$在（t，10-t²）上有最大值，
則$\left\{\begin{array}{l}{t＜1＜10-{t}^{2}}\\{f（t）≤f（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t＜1＜10-{t}^{2}}\\{-\frac{1}{3}{t}^{3}+t≤\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得：-2≤t＜1．
∴實數t的取值范圍為[-2，1）．
故選：C．

點評 本題考查利用導數求函數在閉區間上的最值，考查數學轉化思想方法，屬中檔題．