Question

2．空間中任意放置的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD．下列命題正確的是個(gè)數(shù)是（　　） 個(gè)
①正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\sqrt{2}$；
②正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
③正四面體ABCD的主視圖面積可能是$\sqrt{3}$；
④正四面體ABCD的主視圖面積可能是2
⑤正四面體ABCD的主視圖面積可能是4．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD的正視圖面積的范圍，進(jìn)而可判斷出命題正確的個(gè)數(shù)．

解答 解：棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD．
當(dāng)主視圖的觀察方向與四面體的某個(gè)面垂直時(shí)，正視圖的面積取最小值$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
當(dāng)主視圖的觀察方向與四面體的兩條異面的棱的公垂線平行時(shí)，正視圖的面積取最大值：$（2\sqrt{2}）^{2}$=8，
故正四面體ABCD的主視圖面積S∈[$\sqrt{3}$，8]，
故①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤，③正確，④正確，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間幾何體的三視圖，難度中檔．