Question

17．已知函數f（x）=x²-alnx在區間（1，2]內是增函數，g（x）=x-a$\sqrt{x}$在區間（0，1）內是減函數．
（1）求f（x）、g（x）的表達式；
（2）求證：當x＞0時，方程f（x）-g（x）=x²-2x+3有唯一解．

Answer 1

分析 （1）問題轉化為a≤（2x²）_min=2，a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，求出a的值，從而求出函數的解析式；
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，設h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），由函數的單調性能導出方程f（x）=g（x）+2在x＞0時只有唯一解．

解答 解：（1）由題意知：f′（x）=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$≥0在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x²）_min=2，
又g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-a}{2\sqrt{x}}$≤0在（0，1]上恒成立⇒a≥（2$\sqrt{x}$）_max=2，
∴a=2，f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-2$\sqrt{x}$．
（2）f（x）=g（x）+2⇒x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2=0，
設h（x）=x2-2lnx-x+2$\sqrt{x}$-2（x＞0），
則h′（x）=2x-$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$-1，
x∈（0，1]時，h′（x）＜0，x∈[1，+∞），h′（x）≥0，
解得h（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=0，
即方程f（x）=g（x）+2在x＞0時只有唯一解．

點評 本題考查利用導數判斷函數的單調性，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．