Question

7．已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點F（1，0），其準線與x軸的交點為K，過點K的直線l與C交于A，B兩點，點A關于x軸的對稱點為D．
（1）證明：點F在直線BD上；
（2）設$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=$\frac{8}{9}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設拋物線C：y²=2px，則點K（-1，0），$\frac{p}{2}$=1，由此能求出拋物線C的方程．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），l的方程為x=my-1（m≠0）．將x=my-1代入y²=4x并整理得y²-4my+4=0，再由韋達定理能夠證明點F（1，0）在直線BD上．
（2）由x₁+x₂=（my₁-1）+（my₂-1）=4m²-2，x₁x₂=（my₁-1）（my₂-1）=1，知$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），所以$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，由此能夠求直線l的方程．

解答 （1）證明：設拋物線C：y²=2px，則點K（-1，0），$\frac{p}{2}$=1
∴拋物線C的方程y²=4x．
設l的方程為x=my-1（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₁，-y₁），
故$\left\{{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$整理得y²-4my+4=0，故$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=4}\end{array}}\right.$，
則直線BD的方程為$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_1}}）$即$y-{y_2}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x-\frac{y_2^2}{4}}）$，
令y=0，得$x=\frac{{{y_1}{y_2}}}{4}=1$，所以F（1，0）在直線BD上…（6分）
（2）解：由（1）可知$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=4}\end{array}}\right.$，所以${x_1}+{x_2}=（{m{y_1}-1}）+（{m{y_2}-1}）=4{m^2}-2，{x_1}•{x_2}=\frac{y_1^2y_2^2}{16}=1$，
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
所以$\overrightarrow{FA}$•$\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+4=8-4m²，
則$8-4{m^2}=\frac{8}{9}$，∴$m=±\frac{4}{3}$，故直線l的方程為3x+4y+3=0或3x-4y+3=0…（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關鍵．