Question

5．已知函數$f（x）={x^2}-\frac{2}{3}a{x^3}（{a＞0，x∈R}）$
（1）求f（x）的單調區間和極值．
（2）若g（x）=f（x）-1有三個零點，求實數a的取值范圍．
（3）若對?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；
（2）問題轉化為f（x）=1有三個不同實根，根據函數的單調性求出a的范圍即可；
（3）通過討論a的范圍，得到函數的單調性，結合集合的包含關系從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=2x-2ax²=2x（1-ax）∵a＞0，令f'（x）=0得x=0或$x=\frac{1}{a}$

x	（-∞，0）	0	$（{0，\frac{1}{a}}）$	$\frac{1}{a}$	$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）減區間（-∞，0），$（{\frac{1}{a}，+∞}）$
增區間$（{0，\frac{1}{a}}）$∴x=0時，f（x）取極小值，且f（0）=0，x=a時，f（x）取極大值，且$f（{\frac{1}{a}}）=\frac{1}{{3{a^2}}}$．
（2）若g（x）=0有三個根，即f（x）=1有三個不同實根，
由（1）知，$\frac{1}{{3{a^2}}}＞1$得$0＜a＜\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
則a的取值范圍為$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$．
（3）∵$f（0）=f（{\frac{3}{2a}}）=0$及由（1）知：
當$x∈（{0，\frac{3}{2a}}）$時，f（x）＞0；$x∈（{\frac{3}{2a}，+∞}）$時，f（x）＜0．
設集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，$B=\left\{{\frac{1}{f（x）}\left|{x∈（{1，+∞}），f（x）≠0}\right.}\right\}$，
已知“對?x₁∈（2，+∞），?x₂∈（1，+∞），使f（x₁）f（x₂）=1”?A⊆B，
若$\frac{3}{2a}＞2$即$0＜a＜\frac{3}{4}$時，$f（{\frac{3}{2a}}）=0$，∵0∈A，而0∉B，∴不滿足A⊆B；
若$1≤\frac{3}{2a}≤2$即$\frac{3}{4}≤a≤\frac{3}{2}$時，f（2）≤0，此時f（x）在（2，+∞）上單調遞減，
故A=（-∞，f（2））⊆（-∞，0），此時f（1）＞0，∴B?（-∞，0）滿足A⊆B；
若$\frac{3}{2a}＜1$即$a＞\frac{3}{2}$時，有f（1）＜0，此時f（x）在（1，+∞）上單調遞減，
故$B=（{\frac{1}{f（1）}，0}）$，A=（-∞，f（2）），∴不滿足A⊆B．
綜上所述，a的取值范圍為$[{\frac{3}{4}，\frac{3}{2}}]$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．