Question

11．方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x的解的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；利用根的存在性定理判斷f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，計(jì)算f（2）=f（4）=0，判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，由此得出答案．

解答 解：設(shè)f（x）=x^-2-（$\frac{1}{2}$）^x，其中x≠0；
容易驗(yàn)證，f（-1）=1-2=-1＜0，
f（-$\frac{1}{2}$）=4-$\sqrt{2}$＞0，
所以f（x）在區(qū)間（-1，-$\frac{1}{2}$）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
即方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
又f（2）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$=0，
f（4）=$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{16}$=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)是2和4，
對(duì)應(yīng)方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x有兩個(gè)實(shí)數(shù)解2和4；
綜上，方程x^-2=（$\frac{1}{2}$）^x解的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)判斷問題，是綜合性題目．