Question

13．若對于曲線f（x）=-e^x-x上任意點處的切線l₁，總存在g（x）=2ax+sinx上一點處的切線l₂，使得l₁⊥l₂，則實數a的取值范圍是[0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求得f（x）的導數，設（x₁，y₁）為f（x）上的任一點，可得切線的斜率k₁，求得g（x）的導數，設g（x）圖象上一點（x₂，y₂）可得切線l₂的斜率為k₂，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，分別求y₁=2a+cosx₂的值域A，y₂═$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$值域B，由題意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范圍．

解答 解：f（x）=-e^x-x的導數為f′（x）=-e^x-1，
設（x₁，y₁）為f（x）上的任一點，
則過（x₁，y₁）處的切線l₁的斜率為k₁=-e^x₁-1，
g（x）=2ax+sinx的導數為g′（x）=2a+cosx，
過g（x）圖象上一點（x₂，y₂）處的切線l₂的斜率為k₂=2a+cosx₂．
由l₁⊥l₂，可得（-e^x₁-1）•（2a+cosx₂）=-1，
即2a+cosx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，總存在x₂∈R使等式成立．
則有y₁=2a+cosx₂的值域為A=[2a-1，2a+1]．
y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域為B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[2a-1，2a+1]．
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤0}\\{2a+1≥1}\end{array}\right.$，
解得0≤a≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：[0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導數的運用：求切線的斜率，考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查任意存在性問題的解法，注意運用轉化思想和值域的包含關系，考查運算能力，屬于中檔題．