Question

3．將函數f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位長度后，所得函數g（x）為奇函數，則函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求出g（x）的解析式，再根據題意求x∈[0，$\frac{π}{2}$]時的最小值即可．

解答 解：∵函數f（x）=sin（2x+φ）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后所得圖象對應的函數解析式為：
y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）為奇函數，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴函數f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查了函數y=Asin（ωx+φ）圖象的變換問題，也考查了三角函數在閉區間上的最值問題，是基礎題目．