Question

4．如圖，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊GD上有10個不同的點P₁，P₂，P₃…P₁₀，則$\overrightarrow{AF}$•（$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$）=180．

Answer 1

分析 可用特殊位置法處理此題，假定這10個點是DG的等分點，且M為DG中點，則$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$=10$\overrightarrow{AM}$，建立坐標系，向量坐標法處理數量積．
或是根據分析圖形所反應出來的幾何性質解題．

解答 解法一：特殊位置法．
令這10個點是DG的等分點，且M為DG中點，
則$\overrightarrow{A{P_1}$+$\overrightarrow{A{P_2}}$+$\overrightarrow{A{P_3}}$+…+$\overrightarrow{A{P_{10}}}$=10$\overrightarrow{AM}$，
以A為原點，AD方向為x軸建立坐標系，
故F（3，$\sqrt{3}$），M（$\frac{11}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）
$\overrightarrow{AF}=（3，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{11}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$
∴原式=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AM}$=180
故答案為：180．
解法二：（幾何法）
由圖知，△AFC中，∠ACF=60°，AC=2FC=$2\sqrt{3}$，
知，△AFC為以∠AFC=90°的直角三角形．
∴AF⊥FC，∠FAC=30°．
又∵GD∥FC，∴AF⊥GD．
又 點P₁，P₂，…P₁₀在線段GD上，
∴AF⊥DP_i（i=1，2，3，…，10）
∴原式=$\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{1}}+$…+$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{10}}）$
=$\overrightarrow{AF}•（10\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{P}_{1}}+\overrightarrow{D{P}_{2}}+$…$+\overrightarrow{D{P}_{10}}）$
=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}+$$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{P}_{1}}$+…+$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{D{P}_{10}}$
=$10\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AD}$
=$10×2\sqrt{3}×6×cos30°$
=180．
故答案為：180．

點評 考查向量在圖形中的幾何應用，向量的加法法則，數量積的運算律，數量積的求值．分析到 AF⊥GD是解決問題的關鍵．