Question

8．設數列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）滿足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），且a₁+a₂=4，則數列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n項和S_n為$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）滿足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），可得a_n+1-a_n=2，利用等差數列的通項公式可得a_n，再利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，P_n（n，a_n）滿足$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}$=（1，2），
∴a_n+1-a_n=2，∴數列{a_n}是公差為2的等差數列．
∵a₁+a₂=4，∴2a₁+2=4，解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n項和S_n為=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．