Question

18．若函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有兩個極值點x₁，x₂，其中-$\frac{1}{2}$＜a＜0，b＞0，且f（x₂）=x₂＞x₁，則方程2a[f（x）]²+bf（x）-1=0的實根個數(shù)為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有兩個極值點x₁，x₂，可得2ax²+bx-1=0有兩個不相等的正根，必有△=b²+8a＞0．而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，可知此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x₁或f（x）=x₂解的個數(shù)．

解答 解：解：∵函數(shù)f（x）=-lnx+ax²+bx-a-2b有兩個極值點x₁，x₂，
f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+bx-1}{x}$，
即為2ax²+bx-1=0有兩個不相等的正根，∴△=b²+8a＞0
解得，x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，
∵x₁＜x₂，-$\frac{1}{2}$＜a＜0，b＞0，且，b＞0
∴x₁=$\frac{-b+\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，${x}_{2}=\frac{-b-\sqrt{{b}^{2}+8a}}{4a}$，
而方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的△₁=△＞0，
∴此方程有兩解且f（x）=x₁或x₂．，即有0＜x₁＜x₂，：∵x₁，x₂＞0又${x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{2a}＞1$．
∴x₂＞1，∵f（1）=-b＜0∴f（x₁）＜0，f（x₂）＞0．
①根據(jù)f′（x）畫出f（x）的簡圖，
∵f（x₂）=x₂，由圖象可知方程f（x）=x₂有兩解，方程f（x）=x₁有三解．
綜上①②可知：方程f（x）=x₁或f（x）=x₂共有5個實數(shù)解．
即關(guān)于x的方程2a（f（x））²+bf（x）-1=0的共有5不同實根．
故選：C．

點評 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識，考查了圖象平移的思想方法、推理能力、計算能力、分析問題和解決問題的能力．屬于難題．