Question

9．四面體ABCD的四個頂點都在某個球O的表面上，△BCD是邊長為3$\sqrt{3}$的等邊三角形，當A在球O表面上運動時，四面體ABCD所能達到的最大體積為$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，則四面體OBCD的體積為（　　）

• A． $\frac{81\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{27\sqrt{3}}{4}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． $\frac{27\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 四面體ABCD達到最大體積時，AO⊥平面PCD，設此時的高為h，利用四面體ABCD所能達到的最大體積為$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，求出h，再求出球的半徑，即可求出四面體OBCD的體積．

解答 解：四面體ABCD達到最大體積時，AO⊥平面PCD，設此時的高為h，
則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{3}）^{2}h$=$\frac{81\sqrt{3}}{4}$，∴h=9，
設球的半徑為R，則R²=$（\frac{\sqrt{3}}{3}×3\sqrt{3}）^{2}$+（9-R）²，∴R=5，
∴四面體OBCD的體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（3\sqrt{3}）^{2}×（9-5）$=9$\sqrt{3}$．
故選C．

點評 本題考查四面體體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，正確求出四面體的高是關鍵．