Question

17．在△ABC中，已知B（-5，0），C（5，0），且sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，則點A的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

Answer 1

分析 根據正弦定理，得點A到B的距離與點A到點C的距離之差為8，由此可得點A的軌跡是以B、C為焦點、實軸長為8的雙曲線的右支，且右頂點除外，結合雙曲線的基本概念即可算出所求軌跡方程．

解答 解：∵△ABC中，sinC-sinB=$\frac{3}{5}$sinA，
∴由正弦定理，得|AB|-|AC|=$\frac{3}{5}$|BC|
∵B（-5，0），C（5，0），得|BC|=10
∴|AB|-|AC|=6，
點A在以B、C為焦點、實軸長為6的雙曲線的右支，（右頂點除外）
可得c=5，a²=9，b²=c²-a²=16．
∴所求點A的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$（x＞3）．

點評 本題給出滿足條件的三角形，求動點A的軌跡方程，著重考查了正弦定理與雙曲線標準方程的求法等知識，屬于中檔題．