Question

5．將函數y=ln（x+1）（x≥0）的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉角θ（θ∈（0，α]），得到曲線C，若對于每一個旋轉角θ，曲線C都仍然是一個函數的圖象，則α的最大值為（　　）

• A． π
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 函數y=ln（x+1）在原點的切線OM的斜率k=1，可得∠MOB．由圖可知：當函數圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉時，旋轉的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB時，旋轉所得的圖象與垂直于x軸的直線就有兩個交點，曲線C都不是一個函數的圖象，即可得出．

解答 解：${y}^{′}=\frac{1}{x+1}$，（x＞-1）．
函數y=ln（x+1）在原點的切線OM的斜率k=1，∠MOB=$\frac{π}{4}$．
由圖可知：當函數圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉時，旋轉的角θ大于$\frac{π}{2}$-∠MOB時，旋轉所得的圖象與垂直于x軸的直線就有兩個交點，曲線C都不是一個函數的圖象，
故θ的最大值是$\frac{π}{2}$-∠MOB=$\frac{π}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了導數的幾何意義、函數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．