Question

9．已知兩定點F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），滿足條件|PF₁|-|PF₂|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與E曲線交于A，B兩點．
（1）求點P的軌跡曲線的方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）如果|AB|=6$\sqrt{3}$，且曲線E上存在點C，使$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{OC}$，求m的值和的△ABC面積S．

Answer 1

分析 （1）由由題意可知：c=$\sqrt{2}$，a=1，由b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，即可求得點P的軌跡曲線的方程；
（2）將直線方程代入雙曲線方程由韋達定理即判別式△＞0，即可求得k的取值范圍；
（3）由題意可知丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（1-{k}^{2}）^{2}}}$=6$\sqrt{3}$，則求得k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，求得直線AB的方程為-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+y+1=0，由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{OC}$，根據向量數量積的坐標表示，求得m的值及C點的坐標為（$\sqrt{5}$，2），由點到直線的距離公式則，C到AB的距離為d=$\frac{1}{3}$，因此△ABC面積S，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{1}{3}$=$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-$\sqrt{2}$，0），F₂（$\sqrt{2}$，0），由|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
∴P點位于雙曲線的右支，
則c=$\sqrt{2}$，a=1，
由b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
∴曲線E的方程為x²-y²=1（x＞0）；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y，整理得：（1-k²）x²+2kx-2=0，
又已知直線與雙曲線右支交于兩點A，B，
1-k²≠0，
△=（2k）²+8（1-k²）＞0，
由韋達定理可知：x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$＞0，x₁•x₂=$\frac{-2}{1-{k}^{2}}$＞0，
解得：1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴k的取值范圍（1，$\sqrt{2}$）；
（3）∵丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•丨x₁-x₂丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-2k}{1-{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{-2}{1-{k}^{2}}}$，
=2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（1-{k}^{2}）^{2}}}$，
由題意可知：2$\sqrt{\frac{（1+{k}^{2}）（2-{k}^{2}）}{（1-{k}^{2}）^{2}}}$=6$\sqrt{3}$，
整理得：28k⁴-55k²+25=0，
∴k²=$\frac{5}{7}$或k²=$\frac{5}{4}$，
由1＜k＜$\sqrt{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故直線AB的方程為-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+y+1=0，
設C（x₀，y₀），由已知$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{OC}$，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀），
∴（x₀，y₀）=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{m}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{m}$），（m≠0），
又x₁+x₂=$\frac{-2k}{1-{k}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×4$\sqrt{5}$-2=8，
∴點C（$\frac{4\sqrt{5}}{m}$，$\frac{8}{m}$），
將點C的坐標代入曲線E的方程，得$\frac{80}{{m}^{2}}-\frac{64}{{m}^{2}}=1$，解得m=±4，
但當m=-4時，所得的點在雙曲線的左支上，不合題意，
∴m=4，C點的坐標為（$\sqrt{5}$，2），
C到AB的距離為d=$\frac{丨-\frac{\sqrt{5}}{2}×\sqrt{5}+2+1丨}{\sqrt{（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{1}{3}$，
∴△ABC面積S，S=$\frac{1}{2}$•丨AB丨•d=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{1}{3}$=$\sqrt{3}$，
△ABC面積S=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，點到直線的距離公式及三角形面積公式的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題．