Question

10．己知 a＞0 且 a≠1，若函數(shù)f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（5-x）．
（1）求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）討論不等式f（x）≥g（x）成立時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于x的不等式組，解出即可；（2）通過討論a的范圍，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，解關(guān)于x的不等式組即可．

解答 解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（5-x），
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：
$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\end{array}\right.$，解得：1＜x＜5，
故函數(shù)h（x）的定義域是（1，5）；
（2）若不等式f（x）≥g（x）成立，
則log_a（x-1）≥log_a（5-x），
0＜a＜1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1≤5-x}\end{array}\right.$，解得：1＜x≤3，
a＞1時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{5-x＞0}\\{x-1≥5-x}\end{array}\right.$解得：3≤x＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論思想，是一道基礎(chǔ)題．