Question

4．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用兩個向量垂直的性質、兩個向量的數量積的定義，求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ 的值．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$滿足|$\overrightarrow{b}$|=4|$\overrightarrow{a}$|，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$），設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為θ，
則$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2${|\overrightarrow{a}|}^{2}$+|$\overrightarrow{a}$|•4|$\overrightarrow{a}$|•cosθ=0，∴cosθ=-$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{2}{3}π$，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積的定義，兩個向量垂直的性質，屬于基礎題．