Question

15．已知△ABC三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數列．
（Ⅰ）求角B的取值范圍；
（Ⅱ）設f（x）=3sinx+4cosx，求f（B）的最大值及f（B）取得最大值時tanB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等比數列的性質可求b²=ac，利用余弦定理，基本不等式可得cosB≥$\frac{1}{2}$，結合B的范圍即可得解．
（Ⅱ）利用輔助角公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的最大值得出結論．

解答 解：（Ⅰ）因為a，b，c成等比數列，可知b²=ac，
所以cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{1}{2}$，
所以0$＜B≤\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）f（x）=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），其中sinφ=$\frac{4}{5}$，cosφ=$\frac{3}{5}$，
所以f（B）=5sin（B+φ），$\frac{π}{3}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∵0＜B≤$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+φ≤$\frac{5π}{6}$，
可知當B+φ=$\frac{π}{2}$時，f（B）_max=5．此時tanB=$\frac{cosφ}{sinφ}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了等比數列的性質，余弦定理，基本不等式，輔助角公式，正弦函數的最大值在解三角形中的應用，屬于基礎題．