Question

14．給出以下命題：
①若f′（x₀）=0，則f（x₀）為f（x）的極值．
②若f（x）的極大值為f（x₁），f（x）的極小值為f（x₂），則f（x₁）＞f（x₂）；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，則△ABC是鈍角三角形；
④若函數f（x）=cos2x+asinx在區間$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$是減函數，則a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$
⑤設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；類比這個結論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，內切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$
其中正確命題的序號為③④⑤．

Answer 1

分析 根據函數極值的性質，可判斷①②；根據正弦定理和余弦定理，可判斷③；根據復合函數的單調性，求出a的范圍，可判斷④；根據等積法，可判斷⑤．

解答 解：給出以下命題：
①令f（x）=x³，則f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的極值，故錯誤．
②若f（x）的極大值為f（x₁），f（x）的極小值為f（x₂），但f（x₁）與f（x₂）的大小無法判斷，故錯誤；
③△ABC中，若sin²A+sin²B＜sin²C，即a²+b²＜c²，此時cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，則C為鈍角，則△ABC是鈍角三角形，故正確；
④函數f（x）=cos2x+asin x=-2sin²x+asin x+1，
令t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，則t∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
此時t=sin x，x∈$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$為增函數，
y=f（x）=-2t²+at+1是減函數，
故$\frac{a}{4}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則a∈$（{-∞，2\sqrt{2}}]$，故正確；
⑤設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；
類比這個結論可知：四面體S-ABC的四個面的面積分別為S₁、S₂、S₃、S₄，內切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=$\frac{3V}{S_1+S_2+S_3+S_4}$，故正確；
故答案為：③④⑤．

點評 本題以命題命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數的極值，解三角形，復合函數的單調性，類比推理等知識點，難度中檔．