Question

6．正四棱錐P-ABCD的底面邊長為6，∠PBD=45°，求它的體積和全面積．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出正四棱錐的高與斜高，代入體積公式及全面積公式得答案．

解答 解：如圖，

在正四棱錐P-ABCD中，∵底面邊長AB=6，∴BD=$6\sqrt{2}$，則BO=$3\sqrt{2}$，
又∠PBD=45°，∴PO=$3\sqrt{2}$，則斜高h=$\sqrt{P{O}^{2}+（\frac{1}{2}AB）^{2}}=\sqrt{18+9}=3\sqrt{3}$，
∴${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}×6×6×3\sqrt{2}=36\sqrt{2}$，
正四棱錐P-ABCD的全面積S=6×6+4×$\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}$=36+36$\sqrt{3}$．

點評 本題考查正四棱錐的體積與全面積的求法，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．