Question

15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=-sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）進行數量積的坐標運算便可得出sin（A+B）=-sin2C，進而可求出cosC=$-\frac{1}{2}$，從而得出C=$\frac{2π}{3}$；
（2）根據余弦定理及不等式a²+b²≥2ab即可得出3ab≤12，進而得到ab≤4，這樣根據三角形面積公式即可求出△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=sinAcosB+cosAsinB$=sin（A+B）=sinC=-sin2C；
即sinC=-2sinCcosC，且sinC＞0；
∴$cosC=-\frac{1}{2}$；
∵0＜C＜π；
∴$C=\frac{2π}{3}$；
（2）根據余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab≥2ab+ab；
∴3ab≤12；
∴ab≤4，當且僅當a=b=2時取等號；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}ab≤\sqrt{3}$；
∴△ABC的面積的最大值是$\sqrt{3}$．

點評 考查向量數量積的坐標運算，兩角和的正弦公式，三角函數誘導公式，以及已知三角函數值求角，余弦定理，三角形面積公式．