Question

9．f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一個零點，則a的范圍為（　　）

• A． $（0，\frac{3}{2}）$
• B． $（0，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• D． 以上都不對

Answer 1

分析 求出函數的導數，得到函數的極值，f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一個零點，極小值大于0，列出不等式求解即可．

解答 解：f（x）=x³-ax²+a，（a＞0）可得y′=3x²-2ax，令y′=0，可得x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，
x＜0時y′＞0，
x＞$\frac{2a}{3}$時，y′＞0，
0＜x＜$\frac{2a}{3}$時，y′＜0，
∴函數在（-∞，0），（$\frac{2a}{3}$，+∞）單調遞增，在（0，$\frac{2a}{3}$）單調遞減，
x=0時，函數取的極大值為：a＞0．
∴x=$\frac{2a}{3}$時，函數取得極小值：$-\frac{4{a}^{3}}{27}+a$，f（x）=x³-ax²+a（a＞0）有且只有一個零點，
必有：$-\frac{4{a}^{3}}{27}+a$＞0，解得a∈（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
故選：B．

點評 本題考查了函數的思想，運用求解零點問題，關鍵構造函數，利用圖象交點問題求解，屬于中檔題．