Question

14．已知直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），有下列四個結論：
①直線l經過定點（0，-2）；
②當λ∈[1，4+3$\sqrt{3}$]時，直線l的傾斜角θ∈[120°，135°]；
③若直線l在x軸和y軸上的截距相等，則λ=1；
④當λ∈（0，+∞）時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積的最小值為$\frac{8}{9}$．
其中正確結論的是②④（填上你認為正確的所有序號）．

Answer 1

分析 利用直線系方程，求出直線恒過的定點，求解直線的斜率的表達式得到傾斜角的范圍；求出截距，以及三角形的面積，判斷即可．

解答 解：對于①，直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0（λ∈R），
即：（x+2y+2）+λ（2x+y+2）=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+2=0}\\{2x+y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，直線恒過（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．所以①不正確；
對于②，當λ∈[1，4+3$\sqrt{3}$]時，直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0的斜率為：$-\frac{2λ+1}{λ+2}$=-2+$\frac{3}{λ+2}$，$\frac{3}{λ+2}∈[2-\sqrt{3}，1]$，
可得：$-\frac{2λ+1}{λ+2}$∈[-$\sqrt{3}$，-1]，直線的傾斜角的范圍為：[120°，135°]，所以②正確；
對于③當x=0時，直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0在y軸上的截距為：-$\frac{2λ+2}{λ+2}$．
當y=0時，直線l：（2λ+1）x+（λ+2）y+2λ+2=0在x軸上的截距為：$-\frac{2λ+2}{2λ+1}$．所以③不正確；
對于④，當λ∈（0，+∞）時，直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為：$\frac{1}{2}$×$\frac{2λ+2}{λ+2}$×$\frac{2λ+2}{2λ+1}$=1-$\frac{λ}{2{λ}^{2}+5λ+2}$=$1-\frac{1}{2λ+\frac{2}{λ}+5}$≥1-$\frac{1}{2\sqrt{2λ•\frac{2}{λ}}+5}$=1-$\frac{1}{9}$=$\frac{8}{9}$，當且僅當λ=1時，三角形的面積的最小值為$\frac{8}{9}$．④正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查直線系方程的應用，直線的斜率以及直線的傾斜角，三角形的面積的最值的求法，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．