Question

2．設x∈R，[x]表示不超過x的最大整數，若存在實數t，使得[t]=1，[t²]=2，…，[tⁿ]=n同時成立，則正整數n的最大值是4．

Answer 1

分析 由新定義可得t的范圍，驗證可得最大的正整數n為4．

解答 解：若[t]=1，則t∈[1，2），
若[t²]=2，則t∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）（因為題目需要同時成立，則負區間舍去），
若[t³]=3，則t∈[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$），
若[t⁴]=4，則t∈[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$），
若[t⁵]=5，則t∈[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$），
其中$\sqrt{3}$≈1.732，$\root{3}{4}$≈1.587，$\root{4}{5}$≈1.495，$\root{5}{6}$≈1.431＜1.495，
通過上述可以發現，當t=4時，
可以找到實數t使其在區間[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）上，
但當t=5時，無法找到實數t使其在區間[1，2）∩[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）∩[$\root{3}{3}$，$\root{3}{4}$）∩[$\root{4}{4}$，$\root{4}{5}$）∩[$\root{5}{5}$，$\root{5}{6}$）上，
∴正整數n的最大值4，
故答案為：4．

點評 本題考查簡單的演繹推理，涉及新定義，屬基礎題．