Question

14．解方程：cos2x=cosx+sinx．

Answer 1

分析 先化簡(jiǎn)方程，再利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵cos2x=cosx+sinx，
∴cos²x-sin²x=cosx+sinx，
∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，
∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．
如果cosx+sinx=0，則得1+tanx=0，tanx=-1，
解x=kπ-$\frac{π}{4}$（k為整數(shù)）．
如果cosx-sinx-1=0則得cosx-sinx=1，∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{4}$=2kπ±$\frac{π}{4}$，∴x=2kπ或2kπ-$\frac{π}{2}$（k為整數(shù)）．
綜上，x=kπ-$\frac{π}{4}$或2kπ或2kπ-$\frac{π}{2}$（k為整數(shù)）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)三角恒等變換問題，解題的關(guān)鍵是減小角的倍數(shù)，化異為同，利用方程的思想解題是三角函數(shù)常見的做法，最后是給值求角的問題，注意不要漏解．