Question

2．已知向量$\overrightarrow a，\vec b，|{\vec a}|=1，|{\vec b}|=2$．若對(duì)任意單位向量$\vec e$，均有$|{\vec a•\vec e}|+|{\vec b•\vec e}|≤\sqrt{6}$，則$\overrightarrow a•\vec b$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量三角形不等式的關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：∵|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}+\overrightarrow•\overrightarrow{e}$|≤$|{\vec a•\vec e}|+|{\vec b•\vec e}|≤\sqrt{6}$恒成立，
∴|（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）$•\overrightarrow{e}$|$≤\sqrt{6}$恒成立，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|≤$\sqrt{6}$，
∵（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=5+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$，
∴$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$$≤\sqrt{6}$，
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)以及向量三角形不等式的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．