Question

11．圓C：x²+y²=r²，點A（3，0），B（0，4），若點P為線段AB上的任意點，在圓C上均存在兩點M，N，使得$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，則半徑r的取值范圍[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．

Answer 1

分析 設P（m，n），N（x，y），可得M的坐標，代入圓的方程，根據方程組有解得出m，n與r的關系，根據m的范圍得出r的范圍．

解答 解：直線AB的方程為4x+3y-12=0，
設P（m，n），則0≤m≤3．
設N（x，y），∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，∴M為PN的中點，∴M（$\frac{x+m}{2}$，$\frac{y+n}{2}$），
∵M，N在圓C上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}}\\{（x+m）^{2}+（y+n）^{2}=4{r}^{2}}\end{array}\right.$．
∵該方程組有解，∴r≤$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$≤3r，即r²≤m²+n²≤9r²，
∵P在線段AB上，∴4m+3n-12=0，即n=4-$\frac{4m}{3}$，
∴r²≤$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$≤9r²，
即r²≤$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$≤9r²對一切m∈[0，3]上恒成立，
設f（m）=$\frac{25}{9}{m}^{2}-\frac{32}{3}m+16$，則f（m）在[0，3]上的最大值為f（0）=16，
最小值為f（$\frac{48}{25}$）=$\frac{576}{100}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{r}^{2}≤\frac{576}{100}}\\{16≤9{r}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{4}{3}$≤r≤$\frac{12}{5}$，
又點P為線段AB上的任意點，在圓C上均存在兩點M，N，使得$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MN}$，
∴直線AB與圓C相離，∴r＜$\frac{12}{\sqrt{16+9}}$=$\frac{12}{5}$．
∴r的范圍是[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．
故答案為：[$\frac{4}{3}$，$\frac{12}{5}$）．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，有難度．