Question

12．若函數f（x）=ax²-4x+c的值域為[1，+∞），則$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由于二次函數f（x）=ax²-4x+c的值域為[1，+∞），所以a＞0，且△=0，從而得到a，c的關系等式，再利用a，c的關系等式解出c-1=$\frac{4}{a}$，代入利用均值不等式進而求解．

解答 解：因為二次函數f（x）=ax²-4x+c的值域為[1，+∞），
所以$\frac{4ac-16}{4a}$=1⇒c-1=$\frac{4}{a}$，a＞0，
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$=$\frac{a}{4}+\frac{9}{a}$≥2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3（當且僅當a=6時取等號）
所以$\frac{1}{c-1}+\frac{9}{a}$的最小值為3，
故選C．

點評 此題考查了二次函數的值域，變量的替換及利用均值不等式求最值．