Question

4．給出下列說法：
①冪函數的圖象一定不過第四象限；
②奇函數圖象一定過坐標原點；
③已知函數y=f（x+1）的定義域為[1，2]，則函數y=f（2x）的定義域為[2，3]；
④定義在R上的函數f（x）對任意兩個不等實數a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$成立，則f（x）在R上是增函數；
⑤$f（x）=\frac{1}{x}$的單調減區間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
正確的有①④．

Answer 1

分析 由冪函數的性質，即可判斷①；由奇函數的圖象不一定過坐標原點，比如反比例函數的圖象，即可判斷②；
函數y=f（x+1）的定義域為[1，2]，求得f（x）的定義域為[2，3]，可得f（2x）的定義域，即可判斷③；
由單調性的定義，即可判斷④；由舉例，比如x₁=-1，x₂=1，則f（-1）＜f（1），即可判斷⑤．

解答 解：①冪函數y=xⁿ，當x＞0時，y＞0，則冪函數的圖象一定不過第四象限，故①正確；
②奇函數y=x^-1的圖象不過原點，則奇函數圖象不一定過坐標原點，故②錯誤；
③已知函數y=f（x+1）的定義域為[1，2]，即有1≤x≤2，則2≤x+1≤3，即有y=f（x）的定義域為[2，3]，
則函數y=f（2x），有2≤2x≤3，解得1≤x≤$\frac{3}{2}$，則f（2x）的定義域為[1，$\frac{3}{2}$]，故③錯誤；
④定義在R上的函數f（x）對任意兩個不等實數a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$成立，即有a＞b，總有f（a）＞f（b），則f（x）在R上是增函數，故④正確；
⑤$f（x）=\frac{1}{x}$的單調減區間是（-∞，0）和（0，+∞），不能運用并集，比如x₁=-1，x₂=1，則f（-1）＜f（1），故⑤錯誤．
綜上可得正確的命題為①④．
故答案為：①④．

點評 本題考查命題的真假判斷，主要是函數的奇偶性的性質，以及單調性的判斷，函數的定義域和冪函數的圖象的特點，考查判斷能力，屬于基礎題．