Question

9．已知圓M的圓心為M（-1，2），直線y=x+4被圓M截得的弦長為$\sqrt{2}$，點P在直線l：y=x-1上．
（1）求圓M的標準方程；
（2）設點Q在圓M上，且滿足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出M（-1，2）到直線y=x+4的距離，利用直線y=x+4被圓M截得的弦長為$\sqrt{2}$，求出半徑，即可求圓M的標準方程；
（2）設點Q在圓M上，且滿足$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，求出P的軌跡方程與直線y=x-1聯立，即可求點P的坐標．

解答 解：（1）M（-1，2）到直線y=x+4的距離為d=$\frac{|-1-2+4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（2分）
又直線y=x+4被圓M截得的弦長為$\sqrt{2}$，
所以圓M的半徑為r=1，…（4分）
∴圓M的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=1．…（6分）
（2）由$\overrightarrow{MP}$=4$\overrightarrow{QM}$，得|$\overrightarrow{MP}$|=4|$\overrightarrow{QM}$|=4，
所以點P在圓（x+1）²+（y-2）²=16上，…（8分）
又點P在直線y=x-1上，聯立解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
即點P的坐標為（-1，-2）或（3，2）．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．