Question

3．如圖，在空間直角坐標系D-xyz中，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，AA₁=AB=2AD，點E為C₁D₁的中點，則二面角B₁-A₁B-E的余弦值為（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 分別求出兩個平面的法向量，再求出其夾角即可得出結論．

解答 解：設A₁（1，0，2），B₁（1，2，2），C₁（0，2，2），D₁（0，0，2），B（1，2，0），
∵E，F分別為C₁D₁、A₁B的中點，∴E（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），
設$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面A₁BE的一個法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得平面A₁BE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
又DA⊥平面A₁B₁B，
∴$\overrightarrow{DA}$=（1，0，0）是平面A₁B₁B的一個法向量，且二面角B₁-A₁B-E為銳二面角，
∴二面角B₁-A₁B-E的余弦值為$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選C．

點評 熟練掌握通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角的大小的方法是解題的關鍵．