Question

19．已知在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲線C在極坐標系中的方程；
（Ⅱ）求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲線C的普通方程，即可求曲線C在極坐標系中的方程；
（Ⅱ）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求直線l被曲線C截得的弦長．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=2+2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數），普通方程為x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0，
∴曲線C在極坐標系中的方程為ρ=4sinθ；
（Ⅱ）直線l的方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，即x+y-4=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|0+2-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴直線l被曲線C截得的弦長=2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．