Question

【題目】已知和個實數若有窮數列由數列的項重新排列而成,且下列條件同時成立：① 個數兩兩不同；②當時，都成立，則稱為的一個“友數列”.

(1)若寫出的全部“友數列”；

(2)已知是通項公式為的數列的一個“友數列”，且求(用表示)；

(3)設求所有使得通項公式為的數列不能成為任何數列的“友數列”的正實數的個數(用表示).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）對分類討論即可得到結果；

（2）由條件①知：3n個數兩兩不同，又 ，

，∴差值最大為3n，分類討論即可得到結果；

（3）根據“友數列”的定義，分析即可得到結果.

解：（1）若 則 中存在兩個1，不妨設，

則有 與②矛盾，

故有則，

∴

∴

即好數列 ；

（2）由條件①知：3n個數兩兩不同，又 ，

，

∴差值最大為3n，

而令k取1時，由，

，

若，則，

而時，

故只可能為某個 且 使，

則，矛盾，

∴必有則有，即 ，

其次，若

則此時差值中除外最大，

則有，，又，

∴，而，

則矛盾，

∴必有即

同理，若則有使

，且，

且，∴矛盾，

∴必有即，

接著考慮： ，，

若，

則有，使得，

又 ，矛盾，

∴

依次類推即可.

故對于 時，

且，

，

，

聯立，得，

∴，

對于 時，

，

，

，

聯立，得，

∴，

（3） ，

若 為一個數列的“友數列”，

則亦為一個數列的友數列，

故不妨設 ，則所有差排列如下：

：時，易知與條件①②矛盾；

：時，

，

，

觀察上面式子，若不存在，則先比較：與

，

，

在比較與大小，

，

綜上，不存在滿足題意的q值.