Question

【題目】已知函數.

(1)討論函數的單調性；

(2)若關于的方程有唯一實數解，且，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；

（2）設h（x）＝lnx﹣ex+ax﹣a（x＞0），求出函數的導數，根據函數的單調性求出n的值即可．

(1)

當時，，在上單調遞增；

當時，時，，單調遞減，時，，單調遞增.

綜上所述:當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞減，函數在上單調遞增.

(2)由己知可得方程有唯一解，且

設，即有唯一解，

由，則在上單調遞減.

所以在上單調遞減，即在單調遞減.

又時，時，

故存在使得，

當時，，在上單調遞增

時，在上單調遞減.

又有唯一解，則必有

當時，，故存在唯一的滿足下式:

由消去得.

令

故當時，在上單調遞減，

當時，在上單調遞增.

由.

即存在，使得，即.

又關于的方程有唯一實數解，且

.故.