Question

【題目】如圖，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，二面角的平面角大小為，F是BE的中點，求證：

（1）平面ABC；

（2）平面EDB；

（3）求幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）取BA的中點M，連結CM，通過證明四邊形FMCD是平行四邊形，證得，從而證得結論；

（2）先證面EAB，，得到，再由已知可得，即可得出結論；

（3）幾何體為四棱錐，取AC中點N，連接BN，可證平面ACDE，即可求出體積.

（1）平面ABC，，

取BA的中點M，連結CM，DM，

，平面，

為二面角的平面角，

所以，

∵，，則.

∵F，M分別是BE，AB的中點，

∴，

∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴，

∴，又

∴四邊形FMCD是平行四邊形，∴，

平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.

（2）因M是AB的中點，是正三角形，所以

又EA垂直于平面ABC∴，

又，所以面EAB，∵面EAB

∴，又，從而，

因F是BE的中點，所以.

EB，FD是平面EDB內兩條相交直線，所以平面EDB.

（3）幾何體的體積等于

N為AC中點，連接BN

，平面ACDE

，

所以幾何體的體積為.