Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，和都為等腰直角三角形，，，M為AC的中點，且．

（1）求二面角P﹣AB﹣C的大小；

（2）求直線PM與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取線段AB，BC的中點O，N，連接PO，ON，MN，PN，證出為P﹣AB﹣C二面角，在中利用余弦定理即可求解.

（2）由（1）以為軸，以為軸，過作平面的垂線，以垂線為軸建立空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求出線面角.

（1）

分別取線段AB，BC的中點O，N，連接PO，ON，MN，PN，設AC＝2，則有

在等腰直角△PAB中，O是中點，

則有AB⊥PO﹣﹣﹣①

在等腰直角△ABC中，點O，N分別是AB，

BC的中點，則有AB⊥ON﹣﹣﹣②

由①②可知，AB⊥平面PON，

又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，則有MN⊥PN．

又AB＝2，則 MN＝1，

又PM＝AC＝2，則有PN，又OP＝ON＝1，

由三角形余弦定理可知，，

∴∠PON＝，

即二面角P﹣AB﹣C的大小為．

（2）

建立如圖所示的空間直角坐標系，過點P作PD⊥ON交NO延長線于點D，設AB＝AC＝2，則有

A（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），B（1，0，0），M（﹣1，1，0），

由（1）可知，∠POD＝180°﹣∠PON＝60°，又∵OP＝1，∴．

∴，．

∴，

設平面PBC的一個法向量為，則有，

又∵，，∴，

∴．

設直線PM與平面PBC所成角為θ，則有：

．

故直線PM與平面PBC所成角的正弦值為．