Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析

【解析】

（1）代入,可得的解析式.求得導函數,即可得直線方程的斜率,求得點坐標后,由點斜式即可求得切線方程.

（2）根據放縮法,由得.從而證明即可.構造函數,通過求得導函數,再令,求得.即可判斷的單調性,進而求得的零點所在區間,并判斷出該零點為的極小值點,求得在該點的最小值,即證明不等式成立.

（1）當時,

所以

所以,又因為,即點坐標為

所以曲線在點處的切線方程為

即

（2）證明：當時,,

要證明,只需證明,

設,則,

設,則,

所以函數在上單調遞增,

因為,,

所以函數在上有唯一零點,且,

因為,所以,即,

當時,；當時,,

所以當時,取得最小值,

故,

綜上可知,若,.