Question

15．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$．

（1）求函數的定義域并判斷函數的奇偶性；
（2）證明函數f（x）在（0，1]上是單調遞減函數、在[1，+∞）上是單調遞增函數，并求出函數f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（3）畫出函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定義域上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據函數的解析式可得函數的定義域，再根據函數的奇偶性的定義可得它為奇函數．
（2）利用函數的單調性的定義判斷函數的單調性．
（3）根據函數的解析式，作出它的圖象．

解答 解：（1）對于函數函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$，顯然，它的定義域（-∞，0）∪（0，+∞）．
再根據f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x）在定義域內恒成立，可得它為奇函數．
（2）設0＜x₁＜x₂≤1，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，
故函數f（x）在（0，1]上是單調遞減函數．
設1≤x₁＜x₂，可得f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$），
由題設可得 x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞0，
∴（x₁-x₂）•（1-$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$）＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數f（x）在在[1，+∞）上是單調遞增函數．
（3）函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$在定義域上的圖象如圖所示：

點評 本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判斷，函數的圖象，屬于中檔題．