Question

7．函數f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$的圖象可能是（　　）

• A． （1）（3）
• B． （1）（2）（4）
• C． （2）（3）（4）
• D． （1）（2）（3）（4）

Answer 1

分析 分別令a=0，a＞0，a＜0，根據導數和函數的單調性即可判斷．

解答 解：f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$，可取a=0，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}}$=$\frac{1}{x}$，故（4）正確；
∴f′（x）=$\frac{a-{x}^{2}}{（{x}^{2}+a）^{2}}$，
當a＜0時，函數f′（x）＜0恒成立，x²+a=0，解得x=±$\sqrt{-a}$
故函數f（x）在（-∞，-$\sqrt{-a}$），（-$\sqrt{-a}$，$\sqrt{-a}$），（$\sqrt{-a}$，+∞）上單調遞減，故（3）正確；
取a＞0，f′（x）=0，解得x=±$\sqrt{a}$，
當f′（x）＞0，即x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）時，函數單調遞增，
當f′（x）＜0，即x∈（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞）時，函數單調遞減，故（2）正確
函數f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+a}}$的圖象可能是（2），（3），（4），
故選：C

點評 本題考查了函數圖象的識別，以及導數和函數的單調性的關系，屬于中檔題．