Question

6．設f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）的奇函數，其導函數為f'（x），且$f（\frac{π}{2}）=0$，當x∈（0，π）時，f'（x）sinx-f（x）cosx＜0，則關于x的不等式$f（x）＜2f（\frac{π}{6}）sinx$的解集為（　　）

• A． $（-\frac{π}{6}，0）∪（0，\frac{π}{6}）$
• B． $（-\frac{π}{6}，0）∪（\frac{π}{6}，π）$
• C． $（-π，-\frac{π}{6}）∪（\frac{π}{6}，π）$
• D． $（-π，-\frac{π}{6}）∪（0，\frac{π}{6}）$

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，利用導數判斷出g（x）單調性，根據函數的單調性求出不等式的解集．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）sinx-f（x）cosx}{{sin}^{2}x}$，
∵f（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的奇函數，
故g（-x）=$\frac{f（-x）}{sin（-x）}$=$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）
∴g（x）是定義在（-π，0）∪（0，π）上的偶函數．
∵當0＜x＜π時，f′（x）sinx-f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調遞減，
∴g（x）在（-π，0）上單調遞增．
∵f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{f（\frac{π}{2}）}{sin\frac{π}{2}}$=0，
∵f（x）＜2f（$\frac{π}{6}$）sinx，
即g（$\frac{π}{6}$）•sinx＞f（x）；
①當sinx＞0時，即x∈（0，π），g（$\frac{π}{6}$）＞$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）；
所以x∈（$\frac{π}{6}$，π）；
②當sinx＜0時，即x∈（-π，0）時，g（$\frac{π}{6}$）=g（-$\frac{π}{6}$）＜$\frac{f（x）}{sinx}$=g（x）；
所以x∈（-$\frac{π}{6}$，0）；
不等式f（x）＜2f（$\frac{π}{6}$）sinx的解集為解集為（-$\frac{π}{6}$，0）∪（$\frac{π}{6}$，π）．
故選：B．

點評 求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數的單調性，再根據函數的單調性將抽象不等式轉化為具體函的不等式解之．