Question

1．在△ABC中，$B（{-2\sqrt{3}，0}）$，$C（{2\sqrt{3}，0}）$，且△ABC的周長為$8+4\sqrt{3}$．
（1）求點A的軌跡方程C；
（2）過點P（2，1）作曲線C的一條弦，使弦被這點平分，求此弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4$\sqrt{3}$，|BC|=4$\sqrt{3}$．可得|AB|+|AC|=8＞|BC|．因此點A的軌跡為橢圓，去掉與x軸的交點．設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．則2a=8，c=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，聯立解得即可得出．
（2）設直線與曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中點坐標公式可得：x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．由A，B在橢圓上，可得$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$兩式相減，利用中點坐標公式、斜率計算公式即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：|AB|+|AC|+|BC|=8+4$\sqrt{3}$，|BC|=4$\sqrt{3}$．
∴|AB|+|AC|=8＞|BC|．
∴點A的軌跡為橢圓，去掉與x軸的交點．
設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
則2a=8，c=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²，
聯立解得a=4，b=2．
$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1（y≠0）$．
（2）設直線與曲線的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2．∵A，B在橢圓上，∴$\frac{{{x_1}^2}}{16}+\frac{{{y_1}^2}}{4}=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{16}+\frac{{{y_2}^2}}{4}=1$
兩式相減，得$（{x_1}^2-{x_2}^2）+4（{y_1}^2-{y_2}^2）=0$∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{{-（{x_1}+{x_2}）}}{{4（{y_1}+{y_2}）}}=-\frac{1}{2}$，
∴${k_{AB}}=-\frac{1}{2}$，∴直線方程為x+2y-4=0．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、中點坐標公式、斜率計算公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．